闭区间套定理

1. 闭区间套定理

区间套定理：设一无穷闭区间列{[a(n)，b(n)]}适合下面两个条件：（1）后一区间在前一区间之内，既对任一正整数n，有a(n)无穷时，区间列的长度{(b(n)-a(n))}所成的数列收敛于零，则区间的端点所成的两数列{a(n)}及{b(n)}收敛于同一极限$，并且$是所有区间的唯一公共点。

闭区间套定理通常是和“二分法”配合使用的，即区间[a，b]从中点一分为二，通常得到的这两个区间中有且仅有一个区间具有某种性质（和我们要证明的具体问题有关），把这个符合要求的区间[a1，b1]再分为两半，再找出我们感兴趣（具有某种性质）的那个小区间[a2，b2]。
依次类推，这样每分一次，我们找到的区间长度就变为原来的一半，第n次得到的区间长度就是(b-a)/2^n，这样当n趋于∞时，区间长度趋于0，这样我们得到了一个闭区间套[ai，bi]，并且有lim(bn-an)=0，满足闭区间套定理的条件。

因此存在唯一的实数ξ=liman=limbn，这样我们就把每次找到的小区间[ai，bi]具有的性质“传递”到了实数ξ上，而这一步正是用闭区间套定理证明问题的关键。

2. 闭区间套定理如何理解?

闭区间套定理的理解：闭区间套定理，是实数连续性的一种描述，几何意义是，有一列闭线段(两个端点也属于此线段)，后者被包含在前者之中，并且由这些闭线段的长构成的数列以О为极限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点。
该定理反应了实数的完备性，是关于实数连续性的6个等价命题之一，因此可以由其他5个定理推导出来。但既然是关于实数连续性的定理，自然可以用实数的定义以及实数公理——戴德金定理来证明。

定律影响：

闭区间套定理由于具有较好的构造性，因此在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。
例如用来证明单调有界定理，闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性、一致连续性等），拉格朗日中值定理等微分学上常用的定理。作为介绍，在这里给出用闭区间套定理证明单调有界定理和拉格朗日中值定理的过程。
以上内容参考 百度百科—闭区间套定理

3. 闭区间套定理的一个问题

不矛盾。
区间套里每个区间都是确定的，比如[ai,bi](脚标i为一个正整数）,它包含了无穷多个点，且这些点都在[a,b]内。
‘只有唯一一个点属于[an,bn],n=1,2,3,... ’可这样考虑：设这点为c，在[a,b]任选一点d≠c，则总能找到足够大的n，使得区间[an,bn]的半径小于│d-c│/2,所以点d就不在[an,bn]内。即只有唯一一个点c属于[an,bn],n=1,2,3,...

4. 闭区间套定理的介绍

闭区间套定理:如果{[an ,bn ]}形成一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[an ,bn ]，n=1,2,3，…；即an≤ξ≤bn , n=1,2,3，…。且lim an=lim bn=ξ。

5. 如何证明闭区间套定理

设数列{xn}，其中xn∈[an,bn]
0<=bn-xn<=bn-an
因为lim0=0
且lim(bn-an)=lim(b-a)/2^n=0
所以根据数列极限的夹逼性，lim(bn-xn)=0
即limxn=limbn
同理，0<=xn-an<=bn-an
因为lim0=lim(bn-an)=0
所以lim(xn-an)=0
即limxn=liman
因为an<=xn<=bn，且{an}是递增数列，{bn}是递减数列
所以an<=liman=limxn=limbn<=bn
所以存在X=limxn∈[an,bn]，使对于任意的n，有X=liman=limbn

6. 用闭区间套定理证明下面的定理

令g(x)=f(x)-x，由题意知g(x)连续
g(a)=f(a)-a0
∴g(a)g(b)<0
∴根据零点定理可以知道存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即 f(ξ)-ξ =0，得证。

零点定理：
设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ

7. 证明闭区间套定理

8. 用闭区间套定理证明零点定理

不妨设f(a)<0<f(b)。记c＝(a+b)/2，若f(c)＝0，结论成立。
若f(c)>0，则记[a1,b1]=[a,c]；若f(c)<0，则记[a1，b1]=[c,b]。
再记c1=(a1+b1)/2，若f(c1)＝0，结论成立；
若f(c1)>0，则记[a2,b2]=[a1,c1]；若f(c1)<0，则记[a2,b2]=[c1,b1]。
继续下去，或者到某一步有f(ck)=f[(ak+bk)/2]=0，此时结论成立。
或者此过程可无限做下去，因此得到一区间套序列{[an,bn]}，满足：
(1)，[a1,b1]包含[a2,b2]包含[a3,b3]包含...，
(2)，bn－an=(b－a)/2^n趋于0，当n趋于无穷；
(3)，f(an)<0<f(bn)，n＝1，2，3，...。
由闭区间套定理，存在c位于所有的区间，即an<=c<=bn，对n都成立，
且an和bn都趋于c。由f(x)在c的连续性有
f(c)＝lim f(an)<=0，
f(c)＝lim f(bn)>=0，
因此f(c)＝0。显然由于f(a)<0<f(b)知道c不是a，b。因此a<c<b。
证毕。