函数的单调性

1. 函数的单调性

这是单调性的概念问题
函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
增函数与减函数
　　一般地，设函数f(x)的定义域为I： 　　如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)。那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。 　　相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。　　
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 　　在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。 　　注：在单调性中有如下性质。图例：↑（增函数）↓（减函数） 　　↑+↑=↑　两个增函数之和仍为增函数 　　↑-↓=↑　增函数减去减函数为增函数 　　↓+↓=↓　两个减函数之和仍为减函数 　　↓-↑=↓　减函数减去增函数为减函数

2. 函数的单调性

证明：
令函数y=f（x）
取两点（x，f（x））（x+x'，f（x+x’））根据导数定义，则导函数f’（x）=lim(x'->0)（f（x+x’）-f（x））/x'
由于x’恒大于0.所以当f’（x）>0时，（f(x+x')-f（x））>0。即f(x+x')>f(x)，由于x+x’>x，所以此时函数y=f（x）单调递增。同理，当f'(x)<0时函数递减
所以，得证
证毕

3. 函数的单调性

f(x)是增函数,说明每个每个X只有唯一的一个值f(x)
令X=1,y=2。f(xy)=f(x)+f(y)推出 
f(2)=f(1)+f(2)推出f(1)=0
令X=2,y=2
f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2

4. 什么是函数单调性定义?

一般地,设函数f(x)的定义域为I：
  如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数.
  如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数.
  编辑本段⒉ 单调性与单调区间
  若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
  在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的.
  注:在单调性中有如下性质
  ↑（增函数）↓（减函数）
  ↑+↑=↑ ↑-↓=↑ ↓+↓=↓ ↓-↑=↓

5. 函数的单调性

f(x)=1/(1+x^2)
f'(x)=-2x/(1+x²)²
f''(x)=[-2(1+x²)²+2x*2(1+x²)*2x]/(1+x²)⁴
       =[-2(1+x²)+8x²]/(1+x²)³
       =2(3x²-1)/(1+x²)³
令f'(x)=0得x=0,，又f''(0)=-2<0
 ∴f(x)的极大值为f(0)=1
 
令f''(x)=0,得3x²-1=0,x=±√3/3
-√3/3<x<√3/3时，f''(x)<0
x√3/3时，f''(x)>0
∴f(x)的拐点为x=-√3/3,√3/3
 凸区间为(-√3/3,√3/3),
凹区间为(-∞,-√3/3),(√3/3,+∞)
 
拐点需求二阶导的

6. 函数的单调性

F(-x)=(m-1)（-x）*2+2m（-x）+3=(m-1)x*2-2mx+3
因为F(x)=(m-1)x*2+2mx+3为偶函数
所以(m-1)x*2-2mx+3=(m-1)x*2+2mx+3
解出m=0
即函数为F(x)=-x*2+3
函数对称轴为x=0，且开口向下
所以F(x)在区间（-5，-3）上单调递增
答案选D

7. 函数的单调性

分类讨论：

当x＞=0时，
y=-x+2|x|+3=-x+3x+3=2x+3
易知此函数在0到正无穷单调递增
当x<0时，
y=-x+2|x|+3=-x-2x+3=-3x+3
易知函数在负无穷到0上单调递减
注：见了绝对值，要想到分类讨论去除绝对值，问题就转换成我们学过的问题了

8. 函数的单调性

f(1)=f(1)-f(1)=0  f(1/2)=f(1)-f(2)=0-1=-1   f(4)=f(2)-f(1/2)=2
不等式化为f(x/(1/x-3))=f(x^2-3x)≤f(4)
f(x)在（0，+∞）上为增函数,得x^2-3x≤4
解得-1≤x≤4 ,f(x)在（0，+∞）上为增函数
故不等式的结集为（0，4]