如何用区间套定理证明确界原理???要具体步骤，谢谢了!!!

1. 如何用区间套定理证明确界原理???要具体步骤，谢谢了!!!

区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以。就说一下有上界数集如何证有上确界，下界类似。
分两步，第一步套出一个数，第二步证明这个数就是上确界。
①对于数集X，如果它有上界M，就构造闭区间列U[n]，U[1]=[a[1],M]，a[1]是任意一个数，只要使得U[1]∩X≠∅就可以。U[2]这样构造，如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数，就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2]。U[3]构造类似，就是再把U[2]一分为二，右半边如果有X中的数就等于右半区间，否则等于左半区间。就这样一直构造下去，所有的U[n]都是递减区间列，根据闭区间套定理，它们必有一个公共元素m。
②要证m就是X的上确界。下面分类讨论。
1)先说如果m就是集合X中的元素，那么假设X中还有比m大的m'，上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的，和m是公共元素矛盾了。这个比较好证明，就不写具体过程了。这样m在X中，而且X中还没有比m更大的数，显然m是X中的最大数，自然是上确界(根据上确界定义可知)。
2)m不在X中。先证明m任意小邻域里面有X中的数。还是反证法，假设可以找到一个δ>0，使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数，那由于区间U[n]长度可以任意小，只要n足够大。所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ，但所有U都包含m，于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中，但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素，意思是U[j]里面就没有X中元素，和一开始约定的U[n]构造规则矛盾，所以m任意邻域都有X中数。再证X中的数不可能比m大。还是反证法，和1)完全类似，就不写了。
根据上确界的定义，m是X的上确界，就找到了。

2. 用区间套定理证明确界原理里的一个步骤？

区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以.就说一下有上界数集如何证有上确界,下界类似.
分两步,第一步套出一个数,第二步证明这个数就是上确界.
①对于数集X,如果它有上界M,就构造闭区间列U[n],U[1]=[a[1],M],a[1]是任意一个数,只要使得U[1]∩X≠∅就可以.U[2]这样构造,如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数,就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2].U[3]构造类似,就是再把U[2]一分为二,右半边如果有X中的数就等于右半区间,否则等于左半区间.就这样一直构造下去,所有的U[n]都是递减区间列,根据闭区间套定理,它们必有一个公共元素m.
②要证m就是X的上确界.下面分类讨论.
1)先说如果m就是集合X中的元素,那么假设X中还有比m大的m',上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的,和m是公共元素矛盾了.这个比较好证明,就不写具体过程了.这样m在X中,而且X中还没有比m更大的数,显然m是X中的最大数,自然是上确界（根据上确界定义可知）.
2)m不在X中.先证明m任意小邻域里面有X中的数.还是反证法,假设可以找到一个δ>0,使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数,那由于区间U[n]长度可以任意小,只要n足够大.所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ,但所有U都包含m,于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中,但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素,意思是U[j]里面就没有X中元素,和一开始约定的U[n]构造规则矛盾,所以m任意邻域都有X中数.再证X中的数不可能比m大.还是反证法,和1)完全类似,就不写了.
根据上确界的定义,m是X的上确界,就找到了.

3. 如何用区间套定理证明确界原理？？？要具体步骤，谢谢了！！！

区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以。就说一下有上界数集如何证有上确界，下界类似。
分两步，第一步套出一个数，第二步证明这个数就是上确界。

①对于数集X，如果它有上界M，就构造闭区间列U[n]，U[1]=[a[1],M]，a[1]是任意一个数，只要使得U[1]∩X≠∅就可以。U[2]这样构造，如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数，就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2]。U[3]构造类似，就是再把U[2]一分为二，右半边如果有X中的数就等于右半区间，否则等于左半区间。就这样一直构造下去，所有的U[n]都是递减区间列，根据闭区间套定理，它们必有一个公共元素m。
②要证m就是X的上确界。下面分类讨论。
1)先说如果m就是集合X中的元素，那么假设X中还有比m大的m'，上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的，和m是公共元素矛盾了。这个比较好证明，就不写具体过程了。这样m在X中，而且X中还没有比m更大的数，显然m是X中的最大数，自然是上确界（根据上确界定义可知）。
2)m不在X中。先证明m任意小邻域里面有X中的数。还是反证法，假设可以找到一个δ>0，使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数，那由于区间U[n]长度可以任意小，只要n足够大。所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ，但所有U都包含m，于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中，但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素，意思是U[j]里面就没有X中元素，和一开始约定的U[n]构造规则矛盾，所以m任意邻域都有X中数。再证X中的数不可能比m大。还是反证法，和1)完全类似，就不写了。
根据上确界的定义，m是X的上确界，就找到了。

4. 什么是区间套定理？怎么证明？

第七章   实数的完备性
设{{an,bn}}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an,bn]，n = 1,2...,即
                                        an≤ξ≤bn，n = 1,2,....
(具体证明由于有些符号打不出来,从略)
可以在网上查找相关的资料,或者去借一本《数据结构》的书，自己翻阅着看下

5. 什么是区间套定理？怎么证明？

什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）

6. 证明闭区间套定理

7. 如何证明闭区间套定理

设数列{xn}，其中xn∈[an,bn]
0<=bn-xn<=bn-an
因为lim0=0
且lim(bn-an)=lim(b-a)/2^n=0
所以根据数列极限的夹逼性，lim(bn-xn)=0
即limxn=limbn
同理，0<=xn-an<=bn-an
因为lim0=lim(bn-an)=0
所以lim(xn-an)=0
即limxn=liman
因为an<=xn<=bn，且{an}是递增数列，{bn}是递减数列
所以an<=liman=limxn=limbn<=bn
所以存在X=limxn∈[an,bn]，使对于任意的n，有X=liman=limbn

8. 如何用区间套定理证明连续函数的有界性

题设：设f(x)在【a，b】上连续，证明：f(x)在【a，b】一定有界。证明：假设f(x)在【a，b】上无界。【a，b】= [a, (a + b) / 2] + [(a + b) / 2, b]上述两个子区间有【a1, b1】使得f(x)无界。【a1，b1】= [a1, (a1 + b1) / 2] + [(a1 + b1) / 2, b1]上述两个子区间也至少有一个子区间【a2, b2】使得f(x)无界。由将【a2, b2】分成两个相等区间，至少有一个【a3, b3】使得f(x)在其上无界。如此下去得到一串闭区间【an, bn】n = 1,2,3,4...使f(x)在其上无界。易见：...包含于【an, bn】包含于...包含于【a3, b3】包含于【a2, b2】包含于【a1, b1】包含于【a, b】由收敛准则Ⅱ有：lim an(n→∞)和lim bn(n→∞)存在。又bn - an = （b - a）/ 2^n，所以，lim (bn - an) = 0(其中n→∞)，从而推出lim bn = lim an = §(an≤§≤bn，§∈【a，b】)那么由f(x)在【a，b】上连续推出lim f(x)= f(§)(x→§ )取§ = 1，�6�9σ > 0当∣x - §∣ 0，�6�9N，当n > N时有§ - σ < an < bn < § + σ 所以，当x ∈【an, bn】时，有f(§) - 1 < f(x) < f(§) + 1从而推出f(x)在【an, bn】上有界，这与假设矛盾，假设不成立，所以定理得证。